כל אחד מאיתנו הוא תערובת

במדעי החברה אנחנו מנסים להבין אנשים: את המניעים שלהם ואת היחסים ביניהם. ואני רוצה להתחיל ממשהו פשוט. כל אחד מאיתנו הוא תערובת, שילוב של המון תכונות ושל המון דברים שקרו לו בחיים.

בחרו משתנה אחד, למשל רמת האושר. כמה אתם מאושרים בחייכם? התשובה שלכם תלויה בהמון דברים: בגנטיקה (ובהרבה גנטיקה), באופן שבו ההורים שלכם דאגו לכם, באנשים שפגשתם, בדברים שהשגתם, במקום שבו נולדתם, וכמובן בעוד המון דברים, שעל חלקם אפילו קשה לחשוב.

ואיפה המזל? הוא לא עוד גורם אחד ברשימה. הוא נמצא למעלה, מעל הכול. מזל ומאמץ קובעים יחד איפה נולדנו, אילו הורים קיבלנו, ואם גדלנו עם סגנון התקשרות בטוח או חרד. ומשם הם עוברים דרך התכונות שלנו. חלק מהתכונות האלה אנחנו מכירים ויודעים למדוד. על חלק אחר עוד לא חשבנו, או שעוד לא מדדנו אותו. בשפה של מחקר, רמת האושר היא המשתנה התלוי, וכל התכונות הן המשתנים הבלתי תלויים שמנבאים אותה. מה שהתכונות שמדדנו לא מצליחות לנבא נקרא "טעות". אבל זו לא באמת טעות: אלה הדברים שעוד לא מדדנו, או שמדדנו בלי מספיק דיוק. נפגוש את הרעיונות האלה שוב בהמשך הספר, כשנדבר על מהימנות של מדידה ועל טעות הניבוי ברגרסיה.

אפשר לחשוב על זה ככדור שנופל בלוח גלטון (נקרא גם קווינקונקס), שמופיע כאן למטה. בלוח יש שורות של מסמרים. בכל פעם שהכדור פוגע במסמר, הוא צריך "להחליט" אם ליפול שמאלה או ימינה. כל שורה של מסמרים מייצגת שכבה אחת בחיים: בשורה הראשונה הגנים, בשנייה ההורים, בשלישית החברים, וכן הלאה. בכל שכבה נוספת הכדור פוגש עוד השפעה על רמת האושר שלנו, והיא מזיזה אותו קצת לכיוון של יותר אושר, או קצת לכיוון של פחות.

כמובן שזה פישוט. בחיים זה לא כן או לא, ולחלק מהדברים יש השפעה גדולה ולחלק השפעה קטנה: אם השכן שלכם חייך אליכם הבוקר או לא, זה ישפיע על האושר שלכם קצת, והורים טובים משפיעים הרבה. אבל לשם הפשטות, נניח שבכל שכבה יש רק שתי אפשרויות: ימינה, קצת יותר אושר, ושמאלה, קצת פחות.

מה הסיכוי שהכול ייפול לצד של אושר נמוך: גם גנים פחות טובים, גם הורים שלא דאגו, וגם חברים לא טובים? לפעמים, לצערנו, הדברים האלה באים יחד. אבל הסיכוי ליפול לצד של אושר נמוך בכל שכבה, או לצד של אושר גבוה בכל שכבה, קטן מאוד. המקרה מביא את רובנו איפשהו לאמצע.

ואנחנו, בני האדם, שמים לב בעיקר לשכבות שבהן נפלנו לצד של אושר נמוך, ואומרים דברים כמו "למה זה קורה דווקא לי?". לדברים הרעים יש אצלנו בולטות הרבה יותר גדולה מאשר לדברים הטובים. את השכבות שבהן נפלנו לצד של אושר גבוה אנחנו כמעט לא רואים, כי הם נראים לנו מובנים מאליהם.

לא משנה מה, המבט שלנו נמשך לשם, וזה עצוב. כדאי להסתכל גם על הדברים הטובים, ואז נראה שאיכשהו הם מתקזזים. וחשוב לזכור שלא הכול נתון מראש. את נקודת המבט שלנו אפשר לשנות, והרבה מהשכבות האלה נמצאות בידיים שלנו.

לפני שמשחקים, בואו נעקוב אחרי כדור אחד, שכבה אחרי שכבה. בשכבה הראשונה, הגנטיקה: היא יכולה להעלות את רמת האושר, או להוריד אותה. בשכבה השנייה, ההורים: הם יכולים להיות טובים יותר או טובים פחות, וגם הם מזיזים את הכדור לכיוון עלייה או ירידה ברמת האושר. בשכבה השלישית, החברים, ושוב: עלייה או ירידה. וכך הלאה, עד שהכדור נוחת למטה.

עכשיו שחקו עם הלוח. כל כדור הוא אדם: עלייה, ירידה, עלייה, ירידה, ובסוף הוא נוחת איפשהו. רוב הכדורים מגיעים למרכז, חלקם לצדדים, ומעט מאוד מגיעים ממש לקצוות, לרמת אושר נמוכה מאוד או גבוהה מאוד. הדברים מתקזזים. ולמה? כי יש הרבה יותר מסלולים שמובילים לאזורים המרכזיים מאשר מסלולים שמובילים לקצוות. בלוח אפשר לראות ליד כל מסמר כמה מסלולים מגיעים אליו, ולגלות שאל האמצע מגיעים הרבה יותר מסלולים מאשר אל הצדדים. הצורה שנוצרת היא בהרבה מקרים התפלגות נורמלית.

הפילו מעט כדורים, והצורה לא תהיה מסודרת. ככל שתפילו יותר כדורים, תתחיל להתבטא הנטייה הטבעית של הלוח: הצורה שהייתה מתקבלת עם אינסוף כדורים. ככל שיש יותר אנשים, כך רואים טוב יותר איך כל הגורמים האלה משפיעים על האוכלוסייה כולה. הרבה אנשים באמצע, ומעטים עם רמת אושר קיצונית, נמוכה מאוד או גבוהה מאוד.

עד עכשיו הנחנו שבכל שכבה הסיכוי הוא חצי־חצי. אבל נניח שיש אנשים, או אוכלוסיות שלמות, שבהם הנטייה לצד של אושר גבוה חזקה יותר: בכל שכבה יש סיכוי גבוה לעלייה ברמת האושר, נניח 80%, ורק 20% לירידה. כך בגנטיקה, כך אצל ההורים, כך אצל החברים. הגדילו בלוח את הסיכוי של המטבע ליפול לצד האושר, וראו מה קורה: רוב הכדורים נוחתים ברמת אושר גבוהה, ההתפלגות הופכת למוטה, ורק מעטים נשארים בזנב הארוך שבצד של אושר נמוך. ואפשר גם הפוך: אוכלוסייה שבה הנטייה לצד של אושר נמוך חזקה יותר.

על זה בנויה הסטטיסטיקה: על הסתברויות. פגשתם אדם עם רמת אושר גבוהה במיוחד? אפשר לחשב מה הסיכוי להגיע לפינה הזו כשבכל שכבה הסיכוי הוא חצי־חצי, ולראות שהוא קטן מאוד, מאוד. כשמשהו כל כך נדיר, שואלים: אולי הוא בכלל לא שייך לאוכלוסייה הזו? על השאלה הזו עונה בדיקת השערות, ונגיע אליה בהמשך הספר.

ועוד שני דברים. הראשון הוא המיקום של קודקוד המשולש. נניח שזה כדור הארץ. במאדים קודקוד המשולש ממוקם ימינה יותר, באזור של אושר גבוה יותר, והמאדימים מאושרים יותר בממוצע. גם ביניהם יש הבדלים, ורובם מאושרים יותר מבני כדור הארץ. רובם, לא כולם: שתי ההתפלגויות חופפות. ומי שנמצא בקצה יכול להיות "זנב לאריות" או "ראש לשועלים": המאדימי הכי פחות מאושר יכול להיות פחות מאושר מבן כדור הארץ המאושר ביותר. כך אפשר להשוות בין אוכלוסיות. השני הוא בסיס המשולש: יש משולש עם בסיס רחב מאוד, ויש משולש עם בסיס צר מאוד. כלומר, הזוויות שבתחתית המשולש קובעות אם באוכלוסייה יהיו הבדלים קטנים או גדולים בין האנשים. בהמשך נקרא לזה שונות גדולה או שונות קטנה.

הכול נמצא כאן: ממוצע, פיזור, צורה, הסתברות והשוואה בין אוכלוסיות. זה הבסיס של הסטטיסטיקה. ועכשיו תורכם לשחק.

מעבדה: לוח גלטון. הפילו כדורים לאט ואחר כך מהר, שנו את המטבע, ובלשונית "שתי אוכלוסיות" השוו בין כדור הארץ למאדים.פתיחה בחלון נפרד

חלק 0: לפני שמתחילים · מבוא

איך לקרוא את הספר

הספר הזה נכתב בשביל מי שמעולם לא למד סטטיסטיקה, וגם בשביל מי שלמד ושכח. הוא מתחיל מחשבון של בית ספר, ומגיע עד הניתוחים שמופיעים במאמרים בחינוך. הפרק הקצר הזה מסביר איך הוא בנוי, ואיך להפיק ממנו הכי הרבה.

שאלת הפתיחה

אפשר ללמוד סטטיסטיקה בלי לפחד ממנה?

כן. רוב הקושי בסטטיסטיקה לא נמצא בחשבון, אלא במילים ובסמלים. לכן כל מושג בספר מתחיל בשאלה מוכרת, מוסבר במילים פשוטות, ורק אחר כך מקבל סמל ונוסחה. ואם משהו לא ברור, זה סימן שצריך להסביר אותו טוב יותר, לא שמשהו לא בסדר אצלכם.

שלוש בחירות, בסרגל שלמעלה

בראש כל עמוד יש שלוש בחירות. הן נשמרות בדפדפן שלכם, כך שבוחרים פעם אחת והספר כולו מתאים את עצמו.

שפה

הספר זמין בכמה שפות, ועוד יבואו. הוא נכתב קודם בעברית, וכל פרק מתורגם אחרי שהוא מוכן. כשתרגום של פרק עדיין לא קיים, הכפתור שלו אפור.

תוכנה

כל ניתוח בספר מודגם בארבע תוכנות: אקסל, SPSS,‏ JASP ו־R. ‏R היא למי שרוצה לכתוב קוד (נכיר אותה בפרק 4). בחרו את התוכנה שאתם עובדים איתה, וכל קטעי "בתוכנה" בספר יתחלפו אליה. אפשר להחליף גם בלשוניות שבתוך כל קטע. נסו כאן:

ממוצע באקסל: בתא ריק כותבים =AVERAGE(A2:A6) ולוחצים Enter.

ממוצע ב־SPSS: Analyze > Descriptive Statistics > Descriptives Variable(s) מעבירים לחלון הזה את המשתנה. OK

ממוצע ב־JASP: Descriptives > Descriptive Statistics Variables גוררים לחלון הזה את המשתנה. הממוצע מופיע מיד, בלי ללחוץ על כלום.

ממוצע ב־R: אחרי שקוראים את הקובץ (פרק 4), כותבים שורה אחת ומריצים אותה (Ctrl+Enter, ב־Mac Cmd+Enter).

mean(cs$sat_pre, na.rm = TRUE)   # na.rm = TRUE: skip empty cells

[1] 5.064

יש ניתוחים שאחת התוכנות לא יודעת לעשות. במקרה כזה הספר יגיד זאת בפשטות, ויציע לעבור לתוכנה שכן יודעת.

עומק

לכל נושא יש שלוש רמות הסבר. נסו להחליף את העומק בסרגל העליון, ותראו איך הקטע הבא משתנה:

בקצרה: ממוצע הוא סכום הערכים חלקי מספרם.

הסבר: ממוצע הוא הערך שהיה לכל אחד, אילו חילקנו את הסכום הכולל שווה בשווה. אם חמישה תלמידים למדו 1, 5, 6, 8 ו־10 שעות, יחד הם למדו 30 שעות. אילו כל אחד היה לומד אותו מספר שעות, כל אחד היה לומד 6. זה הממוצע.

הסיפור המלא

לממוצע יש תכונה מיוחדת: הוא נקודת האיזוןBalance point של הנתונים. אם מניחים את הערכים על סרגל, כמו משקולות, הסרגל יתאזן בדיוק בממוצע. בפרק 11 נראה למה זה נכון, ולמה זה הופך את הממוצע לרגיש כל כך לערכים קיצונייםOutlier.

רמה 1 (בקצרה): המשפטים החשובים בלבד. מתאים לחזרה לפני מבחן.
רמה 2 (הסבר): הקריאה הרגילה. זו ברירת המחדל.
רמה 3 (לעומק): מוסיף את ה"למה": מאיפה באה נוסחה, ויכוחים בין חוקרים, ופרטים שבדרך כלל מדלגים עליהם.

הדוגמאות הפתורות, התרגילים והקטעים בתוכנה מופיעים בכל רמות העומק.

בדקו את עצמכם3 שאלות

1.בחרתם בסרגל העליון את העומק "בקצרה". מה יקרה לדוגמאות הפתורות ולתרגילים?

2.בפרק מסוים הכפתור של ערבית בסרגל העליון אפור. מה זה אומר?

3.ארבע מורות בדקו בשבוע 10, 14, 12 ו־18 מבחנים. לפי ההסבר ברמה "הסבר": אילו חילקו את כל המבחנים שווה בשווה, כמה הייתה בודקת כל מורה?

סמלים שאפשר ללחוץ עליהם

כל סמל סטטיסטי בספר צבוע בסגול. לחצו על או על ותראו מה הם אומרים, איך כותבים אותם בספרים אחרים, ואיך קוראים להם בפלט של SPSS ושל JASP.

הספר כותב סמלים לפי APA 7, המדריך שלפיו כותבים מאמרים במדעי החברה ובחינוך. כך מה שתלמדו כאן יופיע באותה צורה במאמרים שתקראו ובעבודות שתכתבו. בספרים אחרים, ובקורסים אחרים, תפגשו לפעמים כתיבה אחרת לאותו מושג. למשל ממוצע נכתב גם כ־x̄. בנספח "טבלת סימונים" יש את כל החלופות, וכל סמל מראה אותן גם בחלון שלו.

בדקו את עצמכם3 שאלות

1.לחצתם על סמל סגול בספר. מה לא תמצאו בחלון שנפתח?

2.במאמר שקראתם מופיע הסמל x̄. למה הוא מתאים בספר?

3.למה הספר כותב סמלים לפי APA 7, ולא לפי הכתיבה של ספר מסוים או של מרצה מסוים?

איך בנוי כל פרק

כל הפרקים בנויים באותו סדר, כדי שתדעו תמיד איפה אתם:

שאלת פתיחה מעולם החינוך, שהפרק עונה עליה.
מה תדעו בסוף הפרק: שלוש או ארבע מטרות.
הסבר: קודם למה, ורק אחר כך איך.
דוגמה פתורה, שבה כל מספר מוצג צעד אחר צעד.
תורכם: תרגיל דומה, והפתרון מוסתר מאחורי כפתור.
מעבדה: יישומון אינטראקטיבי, עם משימות.
בתוכנה: אותו ניתוח באקסל, ב־SPSS, ב־JASP וב־R, וקריאת הפלט.
טעויות נפוצות.
בדקו את עצמכם: שאלות עם משוב מיידי.
סיכום, נוסחאות ומונחים חדשים.
תרגול עם הנתונים: שאלות על קובץ אמיתי, עם תשובות.

בדקו את עצמכם3 שאלות

1.בפרק מסוים אתם רוצים לתרגל על קובץ אמיתי, ולבדוק את התשובות שלכם. לאיזה חלק תלכו?

2.מה בא קודם בכל פרק?

3.סיימתם לקרוא פרק. אתם רוצים לבדוק מהר אם הבנתם, ואחר כך לחזור על הנוסחאות. לאילו שני חלקים בפרק תלכו?

מעבדות

בספר יש יותר מ־60 מעבדות: עמודים קטנים שבהם מזיזים מחוון, משנים נתונים, ורואים מה קורה לממוצע, לגרף או למבחן. לכל מעבדה מצורפות משימות, והתשובות מוסתרות. בפינה השמאלית העליונה של כל מעבדה יש שני כפתורים. "⛶ מסך מלא" פותח את המעבדה לבדה על כל המסך. הכפתור השני מחליף בין "⤡ התאמה למסך", שבו המעבדה מוקטנת מעט כך שכולה נכנסת למסך אחד, לבין "⤢ גודל מלא", בגודל הרגיל שלה. ובמחשב יש גם "🔍 זכוכית מגדלת": כשהיא פועלת, החלק של המעבדה שהעכבר נמצא מעליו מוגדל, כך שקל לקרוא אותו. במסך מלא המעבדה מוגדלת כולה, אם יש מקום. הנה טעימה מפרק 11: הממוצע כנקודת האיזוןBalance point של הנתונים.

מעבדה: הממוצע כנקודת האיזון. הקלידו ערכים, או בחרו דוגמה.פתיחה בחלון נפרד

משימה למעבדה

לחצו על "הוסיפו ערך קיצוניOutlier". מה זז יותר: הממוצע או החציוןMedian? (החציון הוא הערך שבאמצע, כשמסדרים את הערכים מהקטן לגדול. נלמד אותו בפרק 11.)

בדיקת התשובה

הממוצע זז הרבה, והחציון כמעט לא זז. הממוצע משתמש בכל ערך ובגודל שלו, ולכן ערך קיצוני אחד מושך אותו. החציון מסתכל רק על הסדר. נחזור לזה בפרק 11.

את כל המעבדות, מסודרות לפי הפרקים, אפשר למצוא גם בעמוד כל המעבדות, ובראש תוכן העניינים.

בדקו את עצמכם3 שאלות

1.מה עושים במעבדה בספר?

2.אתם בפרק 5 ורוצים לחזור למעבדה מפרק 11. איפה תמצאו אותה?

3.הממוצע של 2, 4, 6 ו־8 הוא 5. מחליפים את 8 ב־40. מה הממוצע עכשיו? ומה זה אומר על הממוצע כנקודת איזון?

איך לומדים מהספר: עצרו ונסו

הדרך הכי טובה ללמוד סטטיסטיקה היא לנסות לבד, לפני שרואים את הפתרון. לכן בכל פרק יש תרגילים שהפתרון שלהם מוסתר. קראו את השאלה, נסו לפתור עם דף ועט או בתוכנה, ורק אז לחצו על "הצג פתרון". גם ניסיון שלא הצליח מלמד יותר מקריאה של פתרון מוכן.

אותו דבר נכון לתוכנות. המדריך הטוב ביותר הוא הידיים: אחרי שעושים משהו פעם או פעמיים בעצמכם, האסימון נופל. ואל תנסו לשנן פקודות ותפריטים. נסו להבין את העיקרון, ואת הפקודה תמצאו כבר לבד. וכשמשהו לא עובד, וזה יקרה, חפשו ברשת. כמעט כל שאלה על אקסל, SPSS,‏ JASP או R כבר נשאלה, והתשובה נמצאת במרחק חיפוש אחד. תפקיד הספר הוא להראות לכם לאן להסתכל, ולא להחליף את הסקרנות שלכם.

שני דברים נוספים. הראשון: סטטיסטיקה נבנית לבנה על גבי לבנה. כל פרק נשען על הקודמים לו, ולכן כדאי לא לדלג, גם כשנדמה שהפרק קל. השני: ללמוד בזוגות עוזר. כשאחד נתקע, השני עוזר. וכשמסבירים למישהו אחר, מגלים מה עדיין לא ברור לנו.

הסיפור המלא: דקה אחת לפני שמתחילים

בשיעורים שלי אני פותח לפעמים בדקה של תרגול קשיבות, דווקא לפני סטטיסטיקה, משהו שהרבה אנשים לחוצים ממנו. לומדים הכי טוב במצב רגוע. אז לפני פרק קשה, נסו: שימו לב איך אתם יושבים, למגע של כפות הרגליים ברצפה. עצמו עיניים אם נוח לכם, ושימו לב לנשימה בלי לשנות אותה. שחררו את העיניים, הלסת והכתפיים. נשימה אחת עמוקה, ופקחו את העיניים. אגב, המחקר שמלווה את הספר בודק בדיוק תוכנית כזאת.

תשימו לב גם שמושגים חדשים מופיעים לפעמים "על הדרך", לפני הפרק שמסביר אותם לעומק. למשל ציון תקןz-score יופיע כבר בפרק 4, כדוגמה לנוסחה באקסל, והפרק שלו הוא פרק 14. זה בכוונה: מפגש ראשון קצר מכין את הקרקע להסבר המלא.

נסו עכשיו

חמישה תלמידים למדו 1, 5, 6, 8 ו־10 שעות בשבוע. מה ממוצע שעות הלימוד?

בדיקת התשובה

(1 + 5 + 6 + 8 + 10) / 5 = 30 / 5 = 6

ממוצע של 6 שעות. ואם עניתם נכון בלי לחשוב פעמיים, אתם כבר מוכנים לפרק הבא.

בדקו את עצמכם3 שאלות

1.אתם עובדים בתוכנה, ולא זוכרים באיזה תפריט נמצא ניתוח מסוים. מה הספר ממליץ?

2.ציון תקןz-score מופיע כבר בפרק 4, אבל הפרק שלו הוא פרק 14. למה?

3.ממוצע שעות הלימוד של ארבעה תלמידים הוא 5. שלושה מהם למדו 3, 4 ו־6 שעות. כמה שעות למד הרביעי? נסו לפני שאתם בודקים.

המחקר שמלווה את הספר

רוב הדוגמאות בספר מגיעות ממחקר אחד: תוכנית קשיבות וחמלה בבתי ספר יסודיים. 200 תלמידים בכיתות ד׳ ו־ה׳, בשלושה בתי ספר. בבית ספר אחד התאמנו רק המורות (התוכנית העקיפה), בשני התאמנו המורות והתלמידים יחד (התוכנית המשולבת), והשלישי היה קבוצת ביקורת. התלמידים מילאו שאלונים על שביעות רצון מהחיים, קשיבות, חרדה, בעיות קשב, תלונות גופניות, הקשר עם המורה וההרגשה בכיתה, שלוש פעמים: לפני התוכנית, מיד אחריה, וחצי שנה אחריה. ובנוסף נמדד מעשה אחד: האם התלמידים התנדבו לעזור לילדים אחרים.

הנתונים מדומים, כלומר לא נאספו מתלמידים אמיתיים, אבל מבנה המחקר בהשראת מחקר אמיתי שנערך בבתי ספר בישראל (Tarrasch & Berger, 2022). כך תכירו את הקובץ היטב, ובכל פרק תשאלו עליו שאלה חדשה. בפרק 9 נלמד איך בנוי הקובץ, בפרק 23 נבדוק אם התוכניות הורידו את החרדה, ובפרק 28 נשווה בין שלוש הקבוצות.

בדקו את עצמכם3 שאלות

1.כמה פעמים מילאו התלמידים במחקר את השאלונים?

2.בבית הספר של "התוכנית העקיפה", מי התאמן?

3.הנתונים בספר מדומים. אז מה הטעם ללמוד עליהם?

קובצי הנתונים

כל פרק שיש בו תרגול עם נתונים מצרף את הקבצים, עם מילון משתניםCodebook שמסביר כל עמודה. לאקסל ול־SPSS מתאים קובץ Excel או CSV. JASP פותח גם קובצי Excel וגם קובצי CSV. שימו לב לדבר אחד: מקובץ Excel הוא טוען רק את הגיליון הראשון. לכן אם בקובץ יש כמה גיליונות, ודאו שהנתונים בגיליון הראשון. קובצי הנתונים של הספר הם קובצי CSV, ואפשר לפתוח אותם ישירות בכל ארבע התוכנות.

בדקו את עצמכם

בפרק הבא: ארגז כלים מתמטי. סדר פעולות, שברים, אחוזים, עיגול, וסימן הסכום Σ. כל מה שצריך מהחשבון של בית הספר, ולא יותר.